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Solucionario del libro de cálculo de una variable de Thomas y Finney, novena edición, ejercicio 179


Solucionario del libro de cÃlculo de una variable de Thomas y Finney, novena ediciÃn, ejercicio 179




El libro de cÃlculo de una variable de Thomas y Finney es un clÃsico en la enseÃanza de esta materia, que abarca desde los conceptos bÃsicos hasta las aplicaciones mÃs avanzadas. El solucionario de este libro es una herramienta útil para los estudiantes que quieren verificar sus respuestas y comprender mejor los procedimientos y las tÃcnicas utilizadas.




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En este artÃculo, vamos a resolver el ejercicio 179 del capÃtulo 3, secciÃn 3.5, que trata sobre la regla de la cadena. El enunciado del ejercicio es el siguiente:


Si $f(x) = \sqrtx$ y $g(x) = x^2 + 1$, encuentre $(f \circ g)'(x)$ y $(g \circ f)'(x)$.


Para resolver este ejercicio, vamos a aplicar la regla de la cadena, que dice que si $h(x) = f(g(x))$, entonces $h'(x) = f'(g(x))g'(x)$. Es decir, la derivada de la composiciÃn de dos funciones es el producto de la derivada de la funciÃn exterior evaluada en la funciÃn interior y la derivada de la funciÃn interior.


Entonces, para encontrar $(f \circ g)'(x)$, tenemos que hacer lo siguiente:


  • Identificar la funciÃn exterior y la funciÃn interior. En este caso, $f(x) = \sqrtx$ es la funciÃn exterior y $g(x) = x^2 + 1$ es la funciÃn interior.



  • Calcular la derivada de la funciÃn exterior. En este caso, $f'(x) = \frac12\sqrtx$.



  • Calcular la derivada de la funciÃn interior. En este caso, $g'(x) = 2x$.



  • Aplicar la regla de la cadena. En este caso, $(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) = \frac12\sqrtg(x)g'(x) = \frac12\sqrtx^2 + 1(2x) = \fracx\sqrtx^2 + 1$.



De manera similar, para encontrar $(g \circ f)'(x)$, tenemos que hacer lo siguiente:


  • Identificar la funciÃn exterior y la funciÃn interior. En este caso, $g(x) = x^2 + 1$ es la funciÃn exterior y $f(x) = \sqrtx$ es la funciÃn interior.



  • Calcular la derivada de la funciÃn exterior. En este caso, $g'(x) = 2x$.



  • Calcular la derivada de la funciÃn interior. En este caso, $f'(x) = \frac12\sqrtx$.



  • Aplicar la regla de la cadena. En este caso, $(g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) = 2f(x)f'(x) = 2\sqrtx\frac12\sqrtx = 1$.



Por lo tanto, las respuestas son:


$(f \circ g)'(x) = \fracx\sqrtx^2 + 1$


$(g \circ f)'(x) = 1$


En este ejercicio, hemos visto cÃmo aplicar la regla de la cadena para encontrar la derivada de la composiciÃn de dos funciones. Esta regla es muy útil cuando tenemos que derivar funciones que son el resultado de combinar otras funciones mÃs simples. Por ejemplo, si tenemos una funciÃn que representa el Ãrea de un cÃrculo en funciÃn del radio, podemos usar la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio del Ãrea con respecto al radio.


La regla de la cadena tambiÃn se puede generalizar para el caso de mÃs de dos funciones compuestas. Por ejemplo, si tenemos $h(x) = f(g(k(x)))$, entonces $h'(x) = f'(g(k(x)))g'(k(x))k'(x)$. Es decir, la derivada de la composiciÃn de tres funciones es el producto de las derivadas de las tres funciones, empezando por la mÃs exterior y terminando por la mÃs interior.


Un ejercicio interesante es tratar de demostrar la regla de la cadena usando el concepto de lÃmite. Para ello, se puede usar la definiciÃn de derivada como el lÃmite del cociente incremental y aplicar las propiedades de los lÃmites para simplificar la expresiÃn. TambiÃn se puede usar el teorema del valor medio para obtener una forma alternativa de la regla de la cadena.


La regla de la cadena es una herramienta poderosa para el cÃlculo diferencial, que nos permite encontrar las derivadas de funciones complejas a partir de las derivadas de funciones simples. Es importante practicar esta regla con diferentes ejemplos y ejercicios para dominarla y aplicarla correctamente. e0e6b7cb5c